ধরা যাক ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ , যার সমকোণটি হল C, চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে। C বিন্দু অঙ্কিত লম্ব H বাহু, AB কে ছেদ করে। ফলে সৃষ্ট নতুন ত্রিভুজ ACH , পূর্বোক্ত ABC এর সদৃশ হবে, কেননা এদের উভয়ের একটি কোণ সমকোণ ও একটি কোণ A সাধারণ। ফলে তৃতীয় কোণটিও সমান হবে এবং একই কারণে CBH ত্রিভুজটিও ABC এর সদৃশ। এই সদৃশতার দরুন দুটি অনুপাত...

হবে

��=�,��=�, and ��=�,

তাই

��=��� and ��=���.

এগুলো নিম্নোক্ত উপায়ে লেখা যায়

�2=�×�� and �2=�×��.

দুটি সমতাকে যোগ করে, পাওয়া যায়

�2+�2=�×��+�×��=�×(��+��)=�2.

এটিই হল, পিথাগোরাসের উপপাদ্য:

�2+�2=�2.

বীজগাণিতিক প্রমাণ

চারটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং একটি ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রকে নিয়ে তৈরি একটি বৃহৎ বর্গ

বীজগাণিতিক উপায়ে নিম্নভাবে সূত্রটির প্রমাণ করা যায়। পাশের চিত্রটির বৃহত বর্গটির চার কোণে চারটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে যাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল

12��.

ত্রিভুজগুলোর A-পার্শস্থ ও B পার্শ্বস্থ কোণগুলো পরষ্পরের পরিপূরক, সুতরাং মধ্যবর্তী নীল এলাকার প্রতিটি কোণ একটি সমকোণ। অর্থাত মাঝের নীল এলাকাটি একটি বর্গ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য C। বর্গটির ক্ষেত্রফল C²। ফলে সম্পূর্ণ এলাকাটির ক্ষেত্রফল:

4(12��)+�2.

বৃহৎ বর্গটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য A+B ও এর ক্ষেত্রফল (A+B)², যা বর্ধিত করলে দাঁড়ায় A²+ 2AB+ B².

⇒ �2+2��+�2=4(12��)+�2.

⇒ �2+2��+�2=2��+�2

⇒ �2+�2=�2 (2AB বিয়োগ করে)