অজানা রাশির জগৎ (সরল সমীকরণ / অজানা রাশির সমীকরণ)

বীজগণিত

বীজগণিত হলো গাণিতিক চিহ্নগুলির অধ্যয়ন এবং এই চিহ্নগুলো নিপূণভাবে ব্যবহার করার নিয়ম; এটি গণিতের প্রায় সমস্ত শাখার সেতুবন্ধন স্বরূপ। বীজগণিতে পাটিগণিতের মৌলিক অপারেশনগুলি যেমন- যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, ইত্যাদি প্রক্রিয়া প্রতীক বা নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহার না করেই সম্পাদন করা যায়।

গাণিতিক প্রতীক 

গণিতে যে প্রতীক ব্যবহার করা হয় তাকে গাণিতিক প্রতীক বলে।

গাণিতিক প্রতীকের প্রকারভেদ : গাণিতিক প্রতীক ৫ প্রকার। যথা–
১) সংখ্যা প্রতীকঃ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
২) প্রক্রিয়া প্রতীকঃ + (যোগ), – (বিয়োগ), × (গুণ), ÷ (ভাগ)
৩) সম্পর্ক প্রতীকঃ > (বড়), < (ছোট), = (সমান), ≠ (সমান নয়), ≤ (ছোট অথবা সমান), ≥ (বড় অথবা সমান)
৪) বন্ধনী প্রতীকঃ () প্রথম বন্ধনী, {} দ্বিতীয় বন্ধনী, [] তৃতীয় বন্ধনী।
৫) অক্ষর প্রতীকঃ x,y,z…. ইত্যাদি।

গাণিতিক বাক্য 

গাণিতিক বাক্য হলো সংখ্যা, প্রতীক, রাশি বা গাণিতিক ধারণা সংবলিত এমন একটি উক্তি, যা সত্য না মিথ্যা নিঃসন্দেহে বলা যায়। অর্থাৎ, যখন কোনো বাক্য সত্য না মিথ্যা নির্ণয় করা যায় তখন উক্ত বাক্যটিকে গাণিতিক বাক্য বা বন্ধ বাক্য বা গাণিতিক উক্তি বলে।

যেমন, 5+3=8 হলো গাণিতিক বাক্য বা উক্তি।

খোলা বাক্য

যখন কোনো বাক্য সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায় না তখন উক্ত বাক্যটিকে খোলা বাক্য বলা হয়। যেমন,  x+3=8  একটি গাণিতিক খোলা বাক্য। এই বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা x  এর মান জানা না থাকলে সঠিক উত্তর দেয়া যাবে না। এ বাক্যে x অজানা  কিন্তু নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্দেশ করছে। এক্ষেত্রে এক্স কে বলা হয় একটি চলক।

অর্থাৎ, চলক সম্বলিত গাণিতিক বাক্যকে খোলা বাক্য বলে। 

অন্যভাবে, অক্ষর  প্রতীক বা অজানা সংখ্যা বা রাশি নির্দেশ করে এমন প্রতীক সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে খোলা বাক্য বলে।

চলক(Variable)

কোনো গাণিতিক খোলা বাক্যে অজানা রাশি প্রকাশ করার জন্য ব্যবহৃত প্রতীকে চলক বা চলরাশি বা সংক্ষেপে চল বলে। 

ধরা যাক, A={x:x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1<x<20}; এর অর্থ হলো x এর মান 1 থেকে 19 পর্যন্ত বিস্তৃত। এক্ষেত্রে x কে বলা হয় একটি চলক। 

সুতরাং বলা যায়, যে প্রতীক নির্দিষ্ট সেটের যেকোনো অনির্ধারিত  সংখ্যাকে বোঝায় তাকে চলক বলে।

সহজভাবে বলা যায় , যে সকল রাশির মান পরিবর্তনশীল সে সকল রাশির প্রতীক কে চলক বলা হয়। গণিতে ব্যবহ্নত এমন রাশি যার মান পরিবর্তীত হতে পারে, তাই চলক । 

”যে পরিমান বা বৈশিষ্ট্যের বিভিন্ন পরিসংখ্যান বা শ্রেণী থাকে তাকে চলক বলে” - পি. ভি. ইয়াং।

চলকের মান পরিবর্তনশীল তাই সংখ্যা দিয়ে চলককে প্রকাশ করা যায় না । চলককে প্রকাশ করা হয় প্রতীক দিয়ে। যেমনঃ  x, y, z....

চলকের বৈশিষ্ট্য-

১. চলক এমন একটি প্রতীক যার মান পরিবর্তন হয়।

২. চলকের মান নির্দিষ্ট নয়।

৩.চলক বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

ধ্রুবক

যে সমস্ত বিষয় বা রাশির মান একটি গাণিতিক প্রক্রিয়ায় সব সময় স্থির এবং নির্দিষ্ট থাকে তাকে ধ্রুবক (Constant) বলে।

অর্থাৎ যে সব রাশির মান অন্য কোনো মান দ্বারা প্রভাবিত হয় না বা অন্য কোনো রাশির মান পরিবর্তন হওয়া সত্ত্বেও যে রাশি সর্বদাই স্থির থাকে তাকে ধ্রুবক বলে। যেমন- ১০ একটি সংখ্যা যার মান সব সময় এবং সব স্থানে একই থাকে। এর মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। সাধারণত ইংরেজি অক্ষর a, b, c, d প্রভৃতি বা 1, 2, 3, 4 . . . প্রভৃতি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা ধ্রুবক নির্দেশ করা হয়। ধ্রুবক স্বাধীনভাবে ব্যবহৃত হতে পারে। তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ধ্রুবক চলকের সাথে সংযুক্ত আকারে ব্যবহৃত হয়।

যেমন- 2x, 2y, 4p….. ইত্যাদি।

বীজগাণিতিক রাশি 

এক বা একাধিক সংখ্যা (ধ্রুবক) ও সংখ্যা নির্দেশক প্রতীককে (চলক) প্রক্রিয়া চিহ্ন (+,-,×,÷) ঘাত বা মূলদ চিহ্নের যে কোন একটি অথবা একাধিকের সাহায্যে অর্থবহভাবে সংযুক্ত করলে যে নতুন সংখ্যা নির্দেশক প্রতীকের সৃষ্টি হয় তাকে বীজগাণিতিক রাশি বা সংক্ষেপে রাশি বলা হয়। যেমন, 2x, 2x+y, 6x÷2y ইত্যাদি প্রতিটিই  এক একটি বীজগাণিতিক রাশি।

পদ (Term)

বীজগাণিতিক রাশির যে অংশ শুধু যোগের মাধ্যমে যুক্ত থাকে এদের প্রত্যেকটিকে ওই রাশির একেকটি পদ বলা হয়। যেমন :  2x, 2x+3y ইত্যাদি। এখানে,  প্রথম রাশিতে একটি এবং দ্বিতীয় রাশিতে দুইটি পদ রয়েছে।

সদৃশ পদ 

দুই বা ততোধিক  বীজগণিতীয় রাশির অন্তর্ভুক্ত যেসব পদের বীজগণিতীয় উৎপাদক একই কিন্তু  সাংখ্যিক সহগ ভিন্ন তাদের সদৃশ পদ বলা হয়।

যেমন : 2x ও 3x এর বীজগাণিতীয় উৎপাদক একই (x) । সুতরাং এরা সদৃশ পদ।

বিসদৃশ পদ

দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির অন্তর্ভুক্ত যেসব পদের বীজগণিতীয় উৎপাদক ভিন্ন তাদের বিসদৃশ পদ বলা হয়। একাধিক পদের বীজগণিতীয় উৎপাদক ভিন্ন হলে এবং তাদের সাংখিক   সহগ সমান হলেও পদগুলো বিষদৃশ পথ হবে । যেমন : 2x ও 2y রাশি দুটির সাংখ্যিক সহগ একই, কিন্তু পদ দুটি পৃথক; তাই তারা বিসদৃশ।

বহুপদী

বহুপদী একট ধরনের বীজগাণিতিক রাশি যাতে এক বা একাধিক পদ থাকে এবং পদগুলো এক বা একাধিক চলকেরশুধু মাত্র অঋণাত্মক পূর্ণসাংখিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল হয়। 

বহুপদী রাশিতে বিদ্যমান পদগুলিতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে ঐ রাশির ঘাত বলা হয়।

একটি বহুপদী রাশিতে একটি মাত্র চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে এক চলকের বহুপদী, দুইটি চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে দুই চলকের বহুপদী, তিনটি চলক বিদ্যমান থাকলে রাশিটিকে তিন চলকের বহুপদী বলা হয়। এভাবে বহুপদী রাশিটিতে যে কয়টি চলক বিদ্যমান থাকে রাশিটিকে তত চলকের বহুপদী বলা হয়।

যদি কোনো বীজগাণিতিক রাশিতে কোনো চলক না থাকে অর্থাৎ, রাশিটি শুধুমাত্র একটি ধ্রুবকের রাশি হয় তবে ঐ রাশিকে শূন্য ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী বলা হয়। 

সহগ (Coefficient)

কোন পদের চলক এর সাথে যখন সংখ্যা গুণক হিসাবে যুক্ত থাকে তখন ওই গুণককে সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে।

সমীকরণ

দুটি বীজগাণিতীয় রাশি যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ও সমতা চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত হলে ওই রাশি দুটির সমতা ব্যাপক সম্বন্ধটিকে সমীকরণ বলে। খোলা বাক্যের চলকের যে যে মানের জন্য বাক্যটি সত্য হয় তাকে বা তাদেরকে সমীকরণের বীজ বলে।

অথবা, সমান চিহ্ন সম্বলিত গাণিতিক খোলা বাক্যকে সমীকরণ বলে।

সরল সমীকরণ 

যে সমীকরণে একঘাত বিশিষ্ট একটি মাত্র রাশি থাকে তাকে সরল সমীকরণ বলে।

যেমন: x-5=0, 4x+7=10 ইত্যাদি। 

দ্বিঘাত সমীকরণ

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। যেমন:

একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ।

এখানে x একটি চলক এবং a, b ও c ধ্রুবক যেখানে a এর মান শুন্য হতে পারে না। কারণ a শূণ্য হলে এটি একটি একঘাত সমীকরণে রূপ নেবে। দ্বিঘাত সমীকরণে শুধুমাত্র একটি অজানা রাশি বা চলক থাকে। তাই একে একচলক সমীকরণ বলে। এই সমীকরণে শুধুমাত্র x এর দ্বিতীয় ঘাত থাকে। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী।

সমীকরণ সমাধানের নিয়ম

১.সমীকরণের উভয়পক্ষে একই সংখ্যা বার রাশি যোগ করলে  পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

২.সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা বার আসে  বিয়োগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

৩. সমীকরণের উভয়পক্ষকে  একই সংখ্যা বা রাশি দ্বরা গুণ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

৪. সমীকরণের উভয়পক্ষকে অশূন্য একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা ভাগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

অভেদ

যে সমীকরণ সকল মানের জন্য সত্য তাকে অভেদ বলে।

সমীকরণ ও অভেদের মধ্যে পার্থক্য -

সমীকরণ

১. সমান চিহ্নের দুই পক্ষে দুইটি বহুপদী থাকতে পারে অথবা এক পক্ষে শূন্য থাকতে পারে।

 ২.উভয় পক্ষের বহুপদীর মাত্রা অসমান হতে পারে।

 ৩.চলকের এক বা একাধিক মানের জন্য সমতাটি সত্য হয়।

 ৪.চলকের মানের সংখ্যা সর্বাধিক মাত্রার সমান হতে পারে।

৫.সকল সমীকরণ সূত্র।

অভেদ

১.দুই পক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে।

২. উভয় পক্ষে বহুপদীর মাত্রা সমান থাকে।

৩. চলকের মূল সেটের সকল মানের জন্য সাধারণত সমতাটি সত্য হয়।

৪. চলকের অসংখ্য মানের জন্য সমতাটি সত্য।

৫. সকল বীজগণিতীয় সূত্র অভেদ। 

পাঠ উপস্থাপন 

শিবুব্রত মন্ডল

বি,এসসি(সম্মান), এম, এসসি।

সহকারী শিক্ষক (গণিত ও বিজ্ঞান)

বেতমোর রাজপাড়া ইউনিয়ন আদর্শ মাধ্যমিক বিদ্যালয়।

Email : [email protected]

Mobile : 01718638797