শিবুব্রত মন্ডল
সহকারী শিক্ষক
০৬ অক্টোবর, ২০২৩ ১১:২৫ অপরাহ্ণ
সর্বসমতা ও সদৃশতা
ধরনঃ সাধারণ শিক্ষা
শ্রেণিঃ সপ্তম
বিষয়ঃ গণিত
অধ্যায়ঃ ষষ্ঠ অধ্যায়
সর্বসমতা ও সদৃশতা
আকৃতি
কোন বস্তুর রূপ বা গঠন, বাইরের সীমানা বা বাইরের পৃষ্ঠকে আকৃতি বলে। আমাদের চারপাশের সব কিছুরই আলাদা আকৃতি আছে। যেমন- আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, গোলক ইত্যাদি।
আকার
আকার কোন বস্তুর সামগ্রিক মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা) এর পরিমাপ নির্দেশ করে। আকার দ্বারা একটি বস্তু কত বড় বা ছোট তা বোঝা যায়।
সর্বসমতা
জ্যামিতিতে, দুটি আকৃতি বা বস্তু সর্বসম হবে যদি তাদের একই আকার এবং আকৃতি থাকে অথবা যদি একটিতে অপরটির প্রতিসম ছবির সমান আকার এবং আকৃতি থাকে।
অথবা, একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায় তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
অথবা, যদি একই আকৃতি ও আকারের দুইটি বস্তুকে একটির উপর অন্যটিকে উপরিপাতন করা যায়, অর্থাৎ একটিকে যদি অন্যটির উপর স্থাপন করা হয় এবং উহারা যদি পরস্পরকে সম্পূর্ণরূপে আবৃত করে রাখে, তাহলে এদেরকে সর্বসম বলে।
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।
সর্বসম বোঝাতে ≅ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
অর্থাৎ, সর্বসমতা বলতে বোঝায় একটি ত্রিভুজের সাপেক্ষে অন্য একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু এবং অনুরূপ কোনগুলো সমান।
চিত্রে, ΔABC ও ΔDEF সর্বসম হলে এবং A,B,C শীর্ষ যথাক্রমে D,E,F শীর্ষের উপর পড়লে, AB=DE, AC=DF, BC=EF এবং ㄥA=ㄥD ,ㄥB=ㄥE, ㄥC=ㄥF হবে। অর্থাৎ, একটি ত্রিভুজের ছয়টি উপাদান অপর একটি ত্রিভুজের ছয়টি উপাদানের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত: দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম কিনা তা নির্ণয় করার জন্য ছয়টি উপাদানই জানার প্রয়োজন হয় না। দুইটি ত্রিভুজের তিনটি উপাদান তুলনা করেই আমরা বলতে পারি ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম কিনা। যেমন-
১। যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়।
চিত্রে, ΔABC ও ΔPQR এর AB=PQ, AC=PR এবং BC=QR ।
তাহলে, ΔABC ≅ ΔPQR ।
২। যদি একটি ত্রিভুজের দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান হয়।
চিত্রে, ΔABC ও ΔPQR এর AB=PQ, AC=PR এবং অন্তর্ভুক্তㄥBAC= অন্তর্ভুক্তㄥQPR ।
তাহলে, ΔABC ≅ ΔPQR ।
৩। যদি একটি ত্রিভুজের দুই কোণ ও এক বাহু অপর একটি ত্রিভুজের দুই কোণ ও এক বাহু সমান হয়।
চিত্রে, ΔABC ও ΔPQR এর ㄥACB=ㄥPQR,ㄥABC=ㄥPRQ এবং BC = অনুরূপ QR ।
তাহলে, ΔABC ≅ ΔPQR ।
৪। যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও এক বাহু অপর একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও এক বাহু সমান হয়।
চিত্রে, ΔABC ও ΔXYZ সমকোনী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ AC = অতিভুজ XZ এবং BC = YZ ।
তাহলে, ΔABC ≅ ΔXYZ ।
সদৃশতা: একই আকৃতির দুইটি বস্তু বা চিত্রের বিভিন্ন অংশের আকার একই,কিন্তু অনুরূপ দুই বিন্দুর দুরত্ব সমান নয় তখন তাদের কে সদৃশ বলে।
১. বাহু-বাহু-বাহু সদৃশতাঃ যদি একটি ত্রিভুজের তিন বহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
চিত্রে, ΔABC ও ΔDEF এর AB/DE=AC/DF=BC/EF। তাহলে, ΔABC ও ΔDEF সদৃশ ।
২. বাহু-কোণ-বাহু সদৃশতাঃ যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমানুপাতিক হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভূক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
চিত্রে, ΔABC ও ΔDEF এর AB/DE=BC/EF এবং অন্তর্ভুক্তㄥABC= অন্তর্ভুক্তㄥDEF ।
তাহলে, ΔABC ও ΔDEF সদৃশ ।
৩. কোণ-কোণ সদৃশতাঃ যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুইটি কোণ যথাক্রমে অপরটির দুইটি কোণের সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
চিত্রে, ΔABC ও ΔDEF এরㄥB=ㄥE, ㄥC=ㄥF ।
তাহলে, ΔABC ও ΔDEF সদৃশ।
৪. অতিভূজ-বাহু সদৃশতাঃ যদি দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ ও একটি বাহু যথাক্রমে অপরটির অতিভুজ ও অনুরূপ বাহুর সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
চিত্রে, ΔABC ও ΔDEF সমকোনী ত্রিভুজদ্বয়ের BC /DF=AB/DE । তাহলে, ΔABC ও ΔDEF সদৃশ ।
চতুর্ভুজের সদৃশতা: দুইটি চতুর্ভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক এবং একটি অনুরূপ কোণ সমান হলে চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ।
চিত্রে, ABCD ও MNOP চতুর্ভুজের AB/MN=BD/NO=CD/OP=AC/PM এবংㄥB=ㄥN।তহলে, ABCD ও MNOP চতুর্ভুজদ্বয় সদৃশ।
সর্বসমতা ও সদৃশতার পার্থক্য: সকল সর্বসম ত্রিভুজ/চতুর্ভুজ/বহুভুজ সদৃশ, কিন্তু সকল সদৃশ ত্রিভুজ/ চতুর্ভুজ/ বহুভুজ সর্বসম নয়।
একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাদের বিপরীত কোনগুলোও পরস্পর সমান।
মনেকরি, ΔABC এ AB = AC । প্রমাণ করতে হবে যে,ㄥABC = ㄥACE ।
অঙ্কন: A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD মধ্যমা অঙ্কন করি AD মধ্যমা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ΔABD ও ΔACD এর
AB = AC [ কল্পনা]
BD = CD [ যেহেতু AD মধ্যমা]
এবং AD = AD [সাধারণ বাহু]
তাহলে, ΔABD ≅ ΔACD ।
সুতরাং, ㄥABC = ㄥACE ।
(প্রমাণিত)
বিকল্প,
অঙ্কন: A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব অঙ্কন করি AD লম্ব BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ΔABC এর AD⊥BC [অঙ্কন]
সুতরাং, ㄥADB = ㄥADC [প্রত্যেকে সমকোণ]
অতিভুজ AB = অতিভুজ AC [ কল্পনা]
এবং AD = AD [সাধারণ বাহু]
তাহলে, ΔABD ≅ ΔACD ।
সুতরাং, ㄥABC = ㄥACE ।
(প্রমাণিত)
পাঠ উপস্থাপন
শিবুব্রত মন্ডল
বি,এসসি(সম্মান), এম, এসসি (রসায়ন)।
সহকারী শিক্ষক (গণিত ও বিজ্ঞান)
বেতমোর রাজপাড়া ইউনিয়ন আদর্শ মাধ্যমিক বিদ্যালয়।
Email : [email protected]
Mobile : 01718638797
Facebook: Shibubrata Mandal
মন্তব্য করুন
