গতির কথা

বিজ্ঞান 

পরীক্ষা-নিরীক্ষা,  পর্যবেক্ষণ ও পদ্ধতিগতভাবে লব্ধ সুশৃংখল ও সুসংবদ্ধ জ্ঞান এবং এই জ্ঞান অর্জনের প্রক্রিয়া পদ্ধতি হল বিজ্ঞান । 

বিজ্ঞানের প্রধানত দুটি শাখা রয়েছ।  যথা - (১) সামাজিক বিজ্ঞান (২) প্রাকৃতিক বিজ্ঞান 

বিজ্ঞানী 

ধারাবাহিক পর্যবেক্ষণ ও গবেষণার ফলে কোন বিষয়ে প্রাপ্ত ব্যাপক ও বিশেষ জ্ঞানের সাথে জড়িত ব্যক্তি বিজ্ঞানী, বিজ্ঞানবিদ কিংবা বৈজ্ঞানিক নামে পরিচিত হয়ে থাকেন।

বিজ্ঞানীরা বিশেষ বৈজ্ঞানিক পদ্ধতি অনুসরণ করে জ্ঞান অর্জন করেন এবং প্রকৃতি ও সমাজের নানা মৌলিক বিধি ও সাধারণ সত্য আবিষ্কারের চেষ্টা করেন।

স্থিতি 

সময়ের পরিবর্তনের সাথে পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে কোন বস্তুর অবস্থান অপরিবর্তিত থাকাকে স্থিতি বলে। 

গতি 

সময়ের পরিবর্তনের সাথে পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে কোন বস্তুর অবস্থান পরিবর্তনের ঘটনাকে গতি বলে। 

প্রসঙ্গ কাঠামো 

যে দৃঢ় বস্তুর সাপেক্ষে কোন স্থানে কোন বিন্দু বা বস্তুকে সুনির্দিষ্ট করা হয় তাকে প্রসঙ্গ কাঠামো বলা হয়। 

পরম গতি 

প্রকৃতপক্ষে স্থির প্রসঙ্গ কাঠামো বা  বিন্দুর সাপেক্ষে কোন বস্তুর গতিকে পরমগতি বলে। 

আপেক্ষিক গতি

আপাত দৃষ্টিতে স্থির প্রসঙ্গ কাঠামো বা বিন্দুর সাপেক্ষে কোন বস্তুর গতিকে আপেক্ষিক গতি বলে । 

মহাবিশ্বের সকল স্থিতি আপেক্ষিক - সকল গতি আপেক্ষিক 

পরম স্থিতিশীল প্রসঙ্গ বস্তুর সাপেক্ষে কোন বস্তুর গতিকে পরম গতি বলে। কিন্তু এই মহাবিশ্বে এমন কোন প্রসঙ্গ বস্তু পাওয়া সম্ভব নয় যা প্রকৃতপক্ষে স্থির রয়েছে কারণ পৃথিবী প্রতিনিয়ত সূর্যের চারদিকে ঘুরছে, সূর্যও তার গ্রহ উপগ্রহ নিয়ে নভোমন্ডলের চারদিকে ঘুরছে। কাজেই আমরা যখন কোন বস্তুকে স্থিতিশীল বা গতিশীল বলি, তা আমরা কোনো আপাতদৃষ্টিতে স্থিতিশীল বস্তুর সাপেক্ষে বলে থাকি। সুতরাং এই মহাবিশ্বের সকল স্থিতিই আপেক্ষিক - সকল গতিই আপেক্ষিক। কোনো গতিই পরম নয়, পরম নয় কোনো স্থিতিই।

ভৌত জগত 

বিভিন্ন ইন্দ্রিয়ানুভূতির ভেতর দিয়ে যা কিছু পর্যবেক্ষণ করা যায় এবং পরীক্ষার মাধ্যমে যাচাই ও পরিমাপ করা যায় তাকে ভৌত জগত বলে। 

রাশি 

এই ভৌত জগতে যা কিছু পরিমাপ করা যায়, যার পরিমাণ একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে নির্দেশ করা যায়, তাকে রাশি বা ভৌত রাশি বলে। যেমন - দৈর্ঘ্য একটি রাশি। 

অপরদিকে, দুঃখ, কষ্ট, হর্ষ, আনন্দ ইত্যাদি কখনো সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা যায় না, তাই এগুলো রাশি নয়। 

ভৌত রাশি দুই প্রকার। যথা - (১) মৌলিক রাশি (২) লব্ধ রাশি 

মৌলিক রাশি 

যে সকল রাশি পরিমাপ করতে অন্য রাশির সহায়তার প্রয়োজন হয় না তাকে মৌলিক রাশি বলে। 

মৌলিক রাশি সাতটি। যথা - (১) দৈর্ঘ্য (২) ভর (৩) সময় (৪) তাপমাত্রা (৫) তড়িৎ প্রবাহ (৬) দীপন তীব্রতা (৭) পদার্থের পরিমাণ। 

লব্ধ বা যৌগিক রাশি 

যে রাশি পরিমাপ করতে দুই বা ততোধিক মৌলিক রাশি প্রয়োজন তাকে লব্ধ রাশি বলে। যেমন - বেগ, ত্বরণ, কাজ, ক্ষমতা ইত্যাদি। 

ভেক্টর রাশি 

যে সকল ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় তাদের ভৌত  রাশি বলে। যেমন- সরণ, ওজন, বেগ, ত্বরণ বল, তড়িৎ প্রাবল্য ইত্যাদি। 

স্কেলার রাশি 

যে সকল ভৌত রাশিকে শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায়, দিক নির্দেশের  প্রয়োজন হয় না তাদেরকে স্কেলার রাশি বলে। যেমন - দৈর্ঘ্য, ভর, দ্রুতি, কাজ, তড়িৎ বিভব ইত্যাদি। 

পরিমাপ 

কোন কিছুর পরিমাণ নির্ণয় করাকে পরিমাপ বলে। 

পরিমাপের একক 

যে আদর্শ মানদন্ডের সাথে তুলনা করে কোন কিছুর পরিমাণ নির্ণয় করা হয় তাকে পরিমাপের একক বলে। যেমন -দৈর্ঘ্যের একক মিটার ।

SI একক 

আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত বিভিন্ন ভৌত রাশির একককে SI একক বা System of International Units বলে। যেমন - দৈর্ঘ্যের SI একক মিটার (m) । 

দৈর্ঘ্য 

দূরত্বের পরিমাপকে দৈর্ঘ্য বলে। অর্থাৎ,  কোন বস্তুর এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তের সরলরেখিক দূরত্ব বা পরিমাপকে দৈর্ঘ্য বলে। দৈর্ঘ্যের আন্তর্জাতিক একক মিটার সংক্ষেপে  m । 

শূন্য মাধ্যমে আলো এক সেকেন্ডের 299792458 ভাগের একভাগ সময় যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে এক মিটার দূরত্ব বলে।

কিছু একক খুব বড়  বা ছোট হওয়ার ফলে ব্যবহারিক কাজে তাদের গুণিতক বা উপগুনিতককে  একক হিসেবে ব্যবহার করা হয়। বৃহত্তর কোন কিছু পরিমাপ করতে হলে এককের গুণিতক  প্রয়োজন হয়। যেমন- ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব মাপার ক্ষেত্রে আমরা কিলোমিটার একক ব্যবহার করে থাকি। এক কিলোমিটার হচ্ছে ১০০০ মিটার। আবার, ক্ষুদ্রতর কোন কিছু পরিমাপ করতে এককের উপগুনিতক  বা ভগ্নাংশ ব্যবহার সুবিধাজনক। যেমন - কলমের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে এককের ভগ্নাংশ সেন্টিমিটার ব্যবহার করা হয়। এক সেন্টিমিটার হচ্ছে এক মিটারের ১০০ ভাগের ১ ভাগ বা ১০ মিলিমিটার । আবার, পয়সার পুরুত্ব  পরিমাপ করতে এককের উপগুণিতক  মিলিমিটার ব্যবহার করা হয়। ১ মিলিমিটার হচ্ছে ১ মিটারের ১০০০ ভাগের এক ভাগ। সিলেট থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৭০ কিলোমিটার কে ভগ্নাংশ এককে প্রকাশ করলে পাওয়া যায় ২৭০০০০০০ সেন্টিমিটার বা ২৭০০০০০০০০ মিলিমিটার যা আকারে অনেক বড় মনে হয়।

দূরত্ব 

কোনো গতিশীল বস্তুর পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে যে অবস্থানের পরিবর্তন হয় তাকে দূরত্ব বলে। দূরত্ব একটি স্কেলার রাশি। দূরত্বের একক মিটার (m)।

সরণ

নির্দিষ্ট দিকে পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে কোন বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনকে সরণ বলে।

কোনো বস্তুর আদি অবস্থান ও শেষ অবস্থানের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব হলো সরণ। অর্থাৎ বস্তু এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে যে পথেই যাক সরণ হবে বিন্দু দ্বয়ের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব বা সরল রৈখিক দূরত্বই হচ্ছে সরণ এর মান এবং সরণের দিক হচ্ছে বস্তুর আদি অবস্থান থেকে শেষ অবস্থানের দিকে। 

কাজেই সরণ বস্তুর গতিপথের উপর নির্ভর করে না। অপরদিকে, দূরত্ব হচ্ছে সরল বা বক্রপথে অর্থাৎ যেকোনো দিকে মোট অতিক্রান্ত পথ। কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরে আদি অবস্থানে ফিরে আসলে তার আদি অবস্থান ও শেষ অবস্থান একই হওয়ায় সরণ শূন্য হয়। কিন্তু অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে বৃত্তের পরিধির সমান। তাই গতিশীল বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব থাকলেও সরণ নাও থাকতে পারে। 

গাণিতিক সমস্যা 

4 সেন্টিমিটার ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের তিন চতুর্থাংশ অতিক্রম করলে স্মরণ কত? 

সমাধান : মনেেকরি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের OA = r = OB । বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 = 2 cm

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

 AB2 = √(OB2 + OA2) = √(22 + 22) = √8 = 2√2 cm ।

দ্রুতি

সময়ের সাথে পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনের হারকে দ্রুতি বল। অর্থাৎ বস্তু একক সময় যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে দ্রুতি বলে । 

দ্রুতি = দূরত্ব /সময় 

কোনো বস্তু যদি t সময় d দূরত্ব অতিক্রম করে, 

তাহলে দ্রুতি, v = d/t

দ্রুতির একক ms-1 

 সুষমদ্রুতি

কোনো বস্তু যদি সর্বদা সমান সময়ে সমান দূরত্ব  অতিক্রম করে তবে ওই বস্তুর দ্রুতিকে সুসম দ্রুতি বলে। 

অসম দ্রুতি 

কোনো বস্তু যদি সর্বদা সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম না করে তবে ওই বস্তুর দ্রুতিকে অসম দ্রুতি বলে।

গড় দ্রুতি 

কোনো বস্তু গড়ে প্রতি একক সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে গড় দ্রুতি বলে। বস্তুর মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে সময় ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে গড় দ্রুতি পাওয়া যায়।

 অর্থাৎ গড় দ্রুতি = মোট দূরত্ব /মোট সময়। 

যদি Δt সময় ব্যবধানে দূরত্বের পরিবর্তন Δd হয়, তবে গড় দ্রুতি,v = Δd/Δt । 

তাৎক্ষণিক দ্রুতি 

কোনো একটি বিশেষ মুহূর্তে কোন বস্তুর দ্রুতিকে বস্তুর ওই মুহূর্তের সত্যিকার দ্রুতি  বা তাৎক্ষণিক দ্রুতি বলে। যদি খুব ক্ষুদ্র সময় ব্যবধান Δt এ দূরত্বের পরিবর্তন Δd হয়, তবে তাৎক্ষণিক  দ্রুতি,v = Δd/Δt । 

বিশেষ অবস্থায় বস্তুটি যদি সম দ্রুতিতে যায় শুধু তাহলে তার গড় দ্রুতির পরিমাণ আর তার তাৎক্ষনিক দ্রুতির মান সমান হবে। 

বেগ

 সময়ের সাথে পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর স্মরণের হার কে বেগ বলে। অর্থাৎ কোনো বস্তু পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে নির্দিষ্ট দিকে একক সময় যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে বেগ বলে। যদি কোনো বস্তু নির্দিষ্ট দিকে t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে তাহলে বেগ, V = s/t 

বেগের একক ও দ্রুতির একক একই  ms-1 

যদি কোনো বস্তু সরলরেখায় চলতে থাকে তবে তার বেগ আর দ্রুতির  মধ্যে কোনো পার্থক্য নাই।

একটা গাড়ি দুই সেকেন্ডে ১০ মিটার অতিক্রম করলে তার বেগ = দূরত্ব / সময় = ৫ মিটার /সেকেন্ড। 

সুষম বেগ 

যদি গতিশীল কোনো বস্তুর বেগের মান ও দিক  অপরিবর্তিত থাকে তবে সেই বস্তুর বেগকে সুষম বেগ বলে। অর্থাৎ কোনো বস্তু যদি নির্দিষ্ট দিকে সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে তবে ওই বস্তুর বেগকে সুষম বেগ বা সম বেগ বলে। 

শব্দের বেগ সুষম বেগের একটি প্রকৃত উদাহরণ। শব্দ নির্দিষ্ট দিকে সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে এবং তা হচ্ছে 0°C তাপমাত্রায় বায়ুতে প্রতি সেকেন্ডে ৩৩২ মিটার। বায়ুতে কোনো নির্দিষ্ট দিকে শব্দ প্রথম সেকেন্ডে ৩৩২ মিটার দ্বিতীয় সেকেন্ডে ৩৩২ মিটার এরুপে প্রতি সেকেন্ডে বায়ুতে ৩৩২ মিটার করে চলতে থাকে। 

অসম বেগ 

কোনো বস্তু যদি গতিকালে তার বেগের মান বা দিক অথবা উভয়ের পরিবর্তন করে তবে তার বেগকে অসম বেগ বলে। আমরা সচরাচর যে গতিশীল বস্তু দেখি তাদের বেগ অসম বেগ।

দ্রুতি একটি স্কেলার রাশি এবং এর কেবল মান আছে। দ্রুতি মূলত বেগের মান। দ্রুতির মান যদি সব সময় একই থাকে তবে, কনাটি সমদ্রুতি সম্পন্ন। সমদ্রুতি সম্পন্ন কণার গতির দিক পরিবর্তিত হতে পারে। অন্যদিক,  বেগ একটি ভেক্টর রাশি যার মান ও দিক দুই-ই আছে। বেগের মান অথবা দিক অথবা উভয়ই পরিবর্তিত হলে তা হয় অসমবেগ। কাজেই কোনো কণা সমদ্রুতি সম্পন্ন হলেও তার গতির দিক পরিবর্তিত হলেই তা অসম বেগ হবে। অর্থাৎ এক্ষেত্রে সম দ্রুতি হয় কিন্তু সমবেগ হয় না। 

উদাহরণস্বরূপ, কোনো বস্তু সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার পথে আবর্তন করলে বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুতে তার বেগের অভিমুখ ওই বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শক বরাবর ক্রিয়াশীল হয়। বিভিন্ন বিন্দুতে স্পর্শকের অভিমুখ পৃথক হয় অর্থাৎ গতিবেগ অসম হয়। 

গড়বেগ 

যেকোনো সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর গড়ে প্রতি একক সময় যে সরণ হয় তাকে বস্তুটির গড়বেগ বলে। গড় বেগ একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে কোনো বস্তু কত দ্রুত এবং কোন দিকে চলছে তা নির্দেশ করে। 

নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে কোনো বস্তু নির্দিষ্ট দিকে গড়ে একক সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাই বস্তুটির গড়বেগ। অন্যদিকে, নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে একক সময়ে কোনো বস্তুর গড় অতিক্রান্ত দূরত্বই তার গড় দ্রুতি। নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে কোন বস্তু স্থির অবস্থানে না থাকলে তার দ্রুতির মান কখনোই শূন্য হতে পারে না। অন্যদিক, বেগ একটি ভেক্টর রাশি যার মান ও দিক দুই-ই আছে। কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরে আদি অবস্থানে ফিরে আসলে তার আদি অবস্থান ও শেষ অবস্থান একই হওয়ায় সরণ শূন্য হয়। এক্ষেত্রে বস্তুর গড় বেগ শূন্য হয় কিন্তু মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব শূন্য না হওয়ায় এর গড় দ্রুতি শূন্য হয় না। 

তাৎক্ষণিক বেগ 

সময়ের ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে সময়ের সাথে বস্তুর সরণের হারকে তাৎক্ষণিক বেগ বলে। তাৎক্ষণিক বেগ কোন একটি বিশেষ মুহূর্তে বস্তুটি কত দ্রুত এবং কোন দিকে চলছে তা নির্দেশ করে।  

যদি খুব ক্ষুদ্র সময় ব্যবধান Δt এ কোন বস্তুর সরণ ΔS হয়, তবে তাৎক্ষণিক বেগ, v = Δs/Δt । 

বস্তুটি যদি সম বেগে যায় তাহলে তার তাৎক্ষণিক  বেগ আর গড় বেগের মান সমান হবে। 

আপেক্ষিক বেগ 

দুটি চলমান বস্তুর একটি সাপেক্ষে অপরটির অবস্থান পরিবর্তনের হারকে আপেক্ষিক বীগ বলে। 

সময় বনাম অবস্থান লেখচিত্র থেকে গড় বেগ নির্ণয় 

ধরাযাক, একটি সোজা মসৃণ ঢালু রাস্তা বরাবর গতিশীল একটি গাড়ি ইঞ্জিন বন্ধ থাকায় অবস্থায় নামতে থাকে। যেহেতু এক্ষেত্রে গাড়িটি সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করে না তাই গাড়িটির বেগ অসমবেগ হবে। ছক কাগজের X - অক্ষর বরাবর সময় (t) এবং Y - অক্ষ বরাবর সরণ (S) স্থাপন করে লেখচিত্র অংকন করলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যাবে। এই লেখকে দূরত্ব - সময় লেখ বলা হয়। যেহেতু গাড়িটি সুসমবেগে চলে ন,  তাই গতি কালের সকল মুহুর্তে এর বেগ সমান হবে না । 

সময় (t) বনাম সরণ (S) লেখচিত্রের দুটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল দ্বারা গড়বেগ নির্ণয় করা হয়। 

চিত্রে, OA রেখার ঢাল = AB/OB 

অর্থাৎ, গড় বেগ = AB/OB 

কোনো বিশেষ মুহূর্তে ( t সমেয়) লেখচিত্রের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক DPE এর ঢাল দ্বারা ঐ মুহূর্তের বেগ বা তাৎক্ষণিক বেগ পাওয়া যায়। অর্থাৎ তাৎক্ষণিক বেগ = DE/EF

যখন গাড়িটি সরলরৈখিক পথে সুষমবেগে চলে তখন দূরত্ব - সময় লেখটি একটি সরলরেখা হবে। 

ঢাল

একটি সরলরেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দুর y স্থানাঙ্কের পরিবর্তনকে x স্থানাঙ্কের পরিবর্তন দ্বারা ভাগ করলে রেখাটির ঢাল পাওয়া যায়। 

সুতরাং, কোন সরলরেখার ঢাল একটি সংখ্যা। এই সংখ্যাটি ধনাত্নক বা ঋনাত্নক হতে পারে। আবার শুণ্যও হতে পারে। ঢালকে m দ্বারা সূচিত করা হয়।

একটি সরলরেখার উপর P(x1,y1) এবং Q(x2,y2) দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে,[যেখানে x1 ≠ x2]
ঢাল, m = y স্থানাঙ্কের পার্থক্য/xস্থানাঙ্কের পার্থক্য

   বা, m =  y2– y1/ x2– x1

   বা, m = Δy/Δx
অন্যভাবে, কোন সরল রেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার tangent এর মানকে ঐ সরলরেখার ঢাল বলে এবং একে
m=tan θ (theta) আকারে লেখা হয়। θ (theta) এর মানের পরিবর্তন এর সাথে সাথে ঢাল এর মান এর পরিবর্তন হয়।

দ্রুতি ও বেগের মধ্যে পার্থক্য 

বল 

যা স্থির বস্তুর উপর ক্রিয়া করে তাকে গতিশীল করে বা করতে চায় বা যা গতিশীল বস্তুর উপর ক্রিয়া করে তার গতির পরিবর্তন করে বা করতে চায় তাকে বল বলে। 

মহাকর্ষ 

মহাবিশ্বের যেকোনো দুটি বস্তুর মধ্যকার পারস্পরিক আকর্ষণ বলকে মহাকর্ষ বলে। 

অভিকর্ষ 

পৃথিবী এবং অন্য যেকোনো বস্তুর মধ্যে যে আকর্ষণ তাকে অভিকর্ষ বলে। অর্থাৎ কোনো বস্তুর উপর পৃথিবীর আকর্ষণকে অভিকর্ষ বলে। অভিকর্ষও এক ধরনের মহাকর্ষ। 

চৌম্বকীয় বল 

দুটি চুম্বক অথবা লোহা ও চুম্বকের মধ্যে পারস্পরিক ক্রিয়াশীল বলকেই চৌম্বক বল বলে। পরস্পরের সংস্পর্শ ছাড়া চুম্বক বল একে অন্যের ওপর বল প্রয়োগ করে ,তাই চুম্বক বল একটি অস্পর্শ বল।

তড়িৎ বল বা কুলম্বের বল 

দুটি বিন্দু চার্জ পরস্পরকে যে বলে আকর্ষণ বা বিকর্ষণ করে তাকে তড়িৎ বল বা কুলম্বের বল বলে। 

ঘর্ষণ বল 

একটি বস্তু যখন অন্য একটি বস্তুর সংস্পর্শে থেকে একের ওপর দিয়ে অপরটি চলতে চেষ্টা করে বা চলতে থাকে তখন বস্তুদ্বয়ের স্পর্শতলে গতির বিরুদ্ধে একটি বাধার উৎপত্তি হয়, এই বাধাদানকারী বলকে ঘর্ষণ বল বলা হয়।

ত্বরণ 

সময়ের সাথে কোনো বস্তুর অসম বেগের পরিবর্তনের হার কে ত্বরণ বলে। 

অর্থাৎ কোনো বস্তুর একক সময়ে বেগের পরিবর্তনকে বস্তুটির ত্বরণ বলে। 

যদি কোনো বস্তুর আদিবেগ u এবং t  সময় পরে তার শেষ বেগ v হয় তবে t সময় পর বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = v - u

অতএব, একক সময় বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = (v - u) / t

অতএ,  বস্তুটির বেগের পরিবর্তনের হার, অর্থাৎ ত্বরণ,  a = (v - u) / t 

সুতরাং ত্বরণ = বেগের পরিবর্তন / সময় 

ত্বরণের একক হল বেগ /সময় এর একক। 

অর্থাৎ ত্বরণের একক  ms-2

আমরাজানি, কোনো গতিশীল বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে ।যদি কোনো বস্তুর আদিবেগ u এবং t  সময় পরে তার শেষ বেগ v হয়, তবে t সময় পর বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = v - u

অতএব, একক সময় বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = (v - u) / t ।

এখন, বস্তুটি সমবেগে চললে, v = u হবে। 

এক্ষেত্রে ত্বরণ, a = (u - u)/t = 0/t = 0 । 

সুতরাং সমবেগে গতিশীল কোন বস্তুর ত্বরণ শূন্য  হবে অর্থাৎ ত্বরণ থাকবে না। 

অর্থাৎ চলমান একটি বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করা না হলে বস্তুটি সমবেগে সরলরেখায় চলতে থাকে। 

ত্বরণ যদি নেগেটিভ হয়, তবে বুঝতে হবে গতিবেগ কমে যাচ্ছে। বেগ কমে যাওয়া বোঝানোর জন্য অনেক সময় আমরা মন্দন কথাটা ব্যবহার করি। 

সুষম ত্বরণ

কোনো বস্তুর বেগ যদি নির্দিষ্ট দিকে সবসময় একই হারে বাড়তে থাকে তবে সেই ত্বরণকে সুষম ত্বরণ বলে। অভিকর্ষজ ত্বরণ সুষম ত্বরণের একটি উদাহরণ । অভিকর্ষ বলের প্রভাবে ভূপৃষ্ঠে মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ত্বরণ 9.8 ms-2 । অর্থাৎ বস্তুটি যখন ভূপৃষ্ঠের দিকে আসতে থাকে তখন এর বেগ প্রতি সেকেন্ডে 9.8 ms-2করে বাড়তে থাকে। 

অসম ত্বরণ 

কোনো বস্তুর বেগ পরিবর্তনের হার যদি সমান না হয় তবে সেই ত্বরণকে অসম ত্বরণ বলে। আমরা ভূপৃষ্ঠে সচরাচর যেসব গতিশীল বস্তু দেখি তাদের ত্বরণ অসমত্বরন ।

সময় বনাম বেগ লেখচিত্র থেকে ত্বরণ নির্ণয় 

ছক কাগজের (X) অক্ষ বরাবর সময় (t) এবং (Y) অক্ষ বরাবর বেগ (V) স্থাপন করে বেগ - সময় লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়। এই লেখকে বেগ - সময় লেখ বলা হয়। এই লেখ থেকে সহজে ত্বরণ অর্থাৎ সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা হয়। 

সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে বেগ - সময় লেখ থেকে ত্বরণ নির্ণয় : একটি বস্তু যখন সুষম ত্বরণে চলে তখন তার সমান সময়ে বেগের বৃদ্ধি সমান হয়। সুতরাং (X) অক্ষের দিকে সময় (t) এবং (Y) অক্ষের দিকে বেগ (V) নিয়ে বেগ - সময় লেখ আকলে সেটি একটি সরলরেখা হবে। এখন আমরা এই লেখের উপর যেকোনো একটি বিন্দু P নেই। P থেকে X অক্ষের উপর PM লম্ব টানি। তাহলে যেকোনো সময় OM এর জন্য বেগের পরিবর্তন PM পাওয়া যায়। 

সুতরাং ত্বরণ, a = বেগের পরিবর্তন /সময় = PM/OM

এক্ষেত্রে, PM/OM হচ্ছে OP রেখার ঢাল বা নতি। 

অসম ত্বরণের ক্ষেত্রে বেগ-সময় লেখ থেকে ত্বরণ নির্ণয় :

অসম ত্বরণের ক্ষেত্রে সমান সময়ে বেগের বৃদ্ধি সমান হয় না। সুতরাং (X) অক্ষের দিকে সময় (t) এবং (Y) অক্ষের দিকে বেগ (V) নিয়ে বেগ - সময় লেখ আকলে সেটি একটি বক্ররেখা হবে। এই লেখচিত্র থেকে বস্তুর যেকোনো মুহূর্তের ত্বরণ নির্ণয় করা যায়। 

ধরাযাক, কোনো একটি বিশেষ মুহূর্তে বস্তুটির ত্বরণ নির্ণয় করতে হবে যাকে বক্ররেখাটিতে P  বিন্দু দিয়ে নির্দেশ করা হয়েছে। P বিন্দুতে ত্বরণ নির্ণয় করতে হলে একটি ক্ষুদ্র সমকোণী ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করতে হবে যার অতিভুজ AB এত ক্ষুদ্র যে এটি P বিন্দুর অতি সন্নিকটে বক্ররেখার সাথে কার্যত মিলে যায়। এখানে অতিভুজ AB,P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক। তাহলে, AB রেখার ঢালই হচ্ছে ঐ মুহূর্তের ত্বরণ । 

অর্থাৎ ত্বরণ, a = AC/AB = y/x = ঢাল

বেগ ত্বরণের মধ্যে পার্থক্য 

গাণিতিক সমস্যা 

একটি গাড়ির বেগ 10 ms-1 থেকে সুষমভাবে বৃদ্ধি পেয়ে 5 s পরে 25ms-1  হয়। গাড়িটির ত্বরণ কত? 

বক্ররেখায় ত্বরণ 

সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হার হচ্ছে ত্বরণ। বৃত্তাকার পথে ঘুরতে থাকা একটি বস্তুর বেগের দিক প্রতিমুহূর্তে বদলে যায় যার অর্থ  এর বেগটিও প্রতিমুহূর্তে বদলে যায়। কাজেই বৃত্তাকার পথে ঘুরতে থাকা একটি বস্তুর দ্রুতির কোনো পরিবর্তন না হলেও এর বেগের পরিবর্তন হয়, ফলে এখানে অবশ্যই একটি ত্বরণ বিদ্যমান। আমরাজানি, ত্বরণ সৃষ্টি করা সম্ভব বস্তুটির উপরে কোনো এক ধরনের বল প্রয়োগ করে। একটি বস্তুকে দড়িতে বেঁধে মাথার উপরে ঘোরানো হলে দড়িটি হাত দিয়ে টেনে ধরে রেখে বস্তুটিকে ঘোরাতে হয় বা বস্তুটির উপর কেন্দ্রমুখী একটা বল প্রয়োগ করতে হয় যেটি কেন্দ্রমুখী একটি ত্বরণের সৃষ্টি করে। যদি বস্তুটির বেগ v আর দড়ির দৈর্ঘ্য r (যা আসলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব) হয়, তাহলে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, a = v2/r ।

কিন্তু  রৈখিক বেগ  =  কৌণিক বেগ × ব্যাসার্ধ 

অর্থাৎ v = ωr 

সুতরাং a = ω2r

কেন্দ্রমুখী বল ও কেন্দ্রবিমুখী বল

যখন কোনো বস্তু একটি বৃত্তাকার পথে ঘুরতে থাকে তখন ঐ বৃত্তের কেন্দ্র অভিমুখে যে নিট বল ক্রিয়া করে বস্তুটিকে বৃত্তাকার পথে গতিশীল রাখে তাকে কেন্দ্রমুখী বল বলে। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুসারে এই বলের প্রতিক্রিয়া স্বরূপ যে বল বৃত্তের কেন্দের ওপর ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের বাইরের দিকে ক্রিয়া করে তাকে অপকেন্দ্র বা কেন্দ্রবিমুখী  প্রতিক্রিয়া বলে। 

কেন্দ্রমুখী বল = ভর × কেন্দ্রমুখী ত্বরণ 

অর্থাৎ F = ma = mω2r

গাণিতিক সমস্যা 

0.250 Kg ভরের একটি পাথরকে 0.75 m লম্বা একটি সুতার এক প্রান্তে বেঁধে বৃত্তাকার পথে প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরালে সুতার উপার টান নির্ণয় কর। 

ভেদ (Variation)

দুটি পরস্পর সম্পর্কযুক্ত চলকের একটির মানের পরিবর্তনের সাথে সাথে যদি অন্যটির মান পরিবর্তিত হয়, তবে একটি রাশি অন্যটির সাথে ভেদ - এ আছে বলা হয়।

সরল ভেদ (Simple Variation) 

যদি দুইটি চলক এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত থাকে যে, একটি চলকের হ্রাস বা বৃদ্ধিতে  অপর চলকটির সব সময় একই অনুপাতে হ্রাস বা বৃদ্ধি ঘটে তাহলে বলা হয় প্রথম চলকটি দ্বিতীয় চলকটির সঙ্গে সরল ভেদে অন্বিত। এই নির্দিষ্ট অনুপাতকে ভেদের ধ্রুবক বলা হয়। 

x,y এর সাথে সরল ভেদে অন্বিত বোঝাতে লেখা হয়, x ∝ y এবং পড়া হয় x varies as y । 

যদি  x ∝ y হয় তবে x = ky । এখানে k আনুপাতিক ধ্রুবক। 

ব্যাস্ত ভেদ (Inverse Variation) 

দুইটি চলক এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত থাকে যে, একটির বৃদ্ধিতে অপরটি সর্বদা একই অনুপাতে কমে যায় বা প্রথমটির হ্রাসে দ্বিতীয়টি সেই একই অনুপাতে বেড়ে যায়, তাহলে একটি চলক অপরটির সাথে ব্যস্ত ভেদে অন্বিত বলা হয়।

y চলকটি x চলকের সাথে ব্যস্ত ভেদে অন্বিত হবে, যদি y, 1/x এর সঙ্গে সরল ভেদে অন্বিত হয়। 

অর্থাৎ যদি y = k( 1/x) হয়। এখানে, k একটি আনুপাতিক ধ্রুবক। সুতরাং x এবং y ব্যস্ত ভেদে অন্বিত যদি এবং কেবল যদি xy = ধ্রুবক হয়। 

যৌগিক ভেদ (Joint Variation) যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির সঙ্গে সরলভেদে থাকে, তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশি গুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়। 

x, y, z তিনটি চলরাশি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, x ∝ y যখন z অপরিবর্তিত এবং  x ∝ z যখন y অপরিবর্তিত, তবে  x ∝ yz হবে, যখন y এবং z উভয় পরিবর্তনশীল। 

গতির সমীকরণ (v = u + at)

ধরি, কোনো বস্তু u আদিবেগ নিয়ে  a সুষম ত্বরণে চলে t  সময়ে v শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়।

সুতরাং  t সময় পর বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = v - u

অতএব, একক সময় বস্তুটির বেগের পরিবর্তন = v - u / t

আমরাজানি, একক সময়ে বস্তুর বেগের পরিবর্তন, অর্থাৎ ত্বরণ,  a = (v - u) / t 

             বা, v = u + at --------(1)

যদি বস্তুটি স্থির অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করে তবে আদিবেগ, u = 0 । 

(1)=> v = at —--------(2)

যেহেতু ত্বরণ a ধ্রুব তাই (1) নং সমীকরণ থেকে পাই, 

 v = ধ্রুবক × t

অর্থাৎ v ∝ t

অর্থাৎ স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরনে চলমান বস্তুর যেকোনো সময়ের বেগ সময়ের সমানুপাতিক। 

দূরত্বের সমীকরণ (S = ut + ½ at2)

ধরি, কোনো বস্তু u আদিবেগ নিয়ে  a সুষম ত্বরণে চলে t  সময়ে v শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়। এ সময়ে বস্তুটি s দূরত্ব অতিক্রম করে। 

তাহলে, বস্তুর গড়বেগ, V = S/t বা, S = Vt---------(1)

আবার, বস্তুটি সুষম ত্বরণে চলে বলে এর গড়বেগ হবে আদিবেগ ও শেষবেগের গাণিতিক গড়ের সমান।

অর্থাৎ গড়বেগ,V = (u+v)/2 -------------(2)

(1)ও(2)=> S = {(u+v)/2}×t

কিন্তু, v = u + at 

সুতরাং  S = {(u + u + at)/2}×t

      বা, S = ut + ½ at2

যদি বস্তুটি স্থির অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করে তবে আদিবেগ, u = 0 । 

সুতরাং S = 0×t + + ½ at2

     বা, S = ½ at2

যেহেতু ত্বরণ a ধ্রুব 

সুতরাং S = ধ্রুবক × t2

অর্থাৎ S ∝ t2

অর্থাৎ স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরনে চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।

গাণিতিক সমস্যা 

72 Kmh-1  বেগে চলন্ত একটি গাড়িতে 6 s যাবত 1.5 ms-2 ত্বরণ প্রয়োগ করা হলো। গাড়িটির বেগ কত ?  গাড়িটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে ? 

গতির তৃতীয় সমীকরণ (v2 = u2+ 2aS)

ধরি, কোনো বস্তু u আদিবেগ নিয়ে  a সুষম ত্বরণে চলে t  সময়ে v শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়। এ সময়ে বস্তুটি s দূরত্ব অতিক্রম করে। 

তাহলে, বস্তুর গড়বেগ, V = S/t বা, S = Vt---------(1)

আবার, বস্তুটি সুষম ত্বরণে চলে বলে এর গড়বেগ হবে আদিবেগ ও শেষবেগের গাণিতিক গড়ের সমান।

অর্থাৎ গড়বেগ,V = (u+v)/2   ------------(2)

(1)ও(2)=> S = {(u+v)/2}×t   ---------(3)

কিন্তু, v = u + at 

    বা, t = (v - u)/a---------(4)

(3)ও(4) => S = {(u+v)/2}× {(v-u)/a} = (v2 - u2)/2a

অর্থাৎ, v2 - u2= 2aS

সুতরাং v2 = u2+ 2aS—---------(5)

যদি বস্তুটি স্থির অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করে তবে আদিবেগ, u = 0 । 

সুতরাং v2 = 0 + 2aS = 2aS

যেহেতু ত্বরণ a ধ্রুব 

সুতরাং v2 = ধ্রুবক × S

অর্থাৎ v2 ∝ S

        বা, v ∝ √S

অর্থাৎ স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরনে চলমান বস্তুর বেগ  অতিক্রান্ত দূরত্বের বর্গমূলের সমানুপাতিক।

v2 = u2+ 2aS  সমীকরণের বিকল্প উপপাদন 

আমরাজানি, 

v = u + at--------------(1)

আবার, 

S = ut + ½ at2—---------------(2)

(1) নং সমীকরণ থেকে পাই, 

 t = (v-u)/a---------(3)

(2) নং সমীকরণের ট t এর মান বসিয়ে পাই, 

 S = u(v-u)/a + ½[a{(v-u)/a}2]

 বা, S = (uv - u2)/a + ½{a(v2 - 2uv + u2)a2}

বা,  S = (2uv - 2u2+ v2 - 2uv + u2)/2a

বা, S = (v2 - u2)/2a

বা, v2 - u2= 2aS

গাণিতিক সমস্যা 

54 Kmh-1 বেগে একটি গাড়ি চলছিল। গাড়ির চালক 46 m দূরে একজন পথচারীকে দেখতে পেলেন এবং সাথে সাথে ব্রেক চেপে দিলেন।  এতে গাড়িটি পথচারীর 1 m  সামনে এসে থেমে গেল। গাড়িটির ত্বরণ কত ? ব্রেক চাপার পর গাড়িটি থামতে কত সময় লেগেছিল ? 

v = u + at সমীকরণের লেখচিত্র 

X - অক্ষের দিকে সময় এবং Y -  অক্ষের দিকে বেগ নিয়ে বেগ - সময় লেখচিত্র আঁকলে সেটি একটি সরলরেখা হবে। লেখচিত্র থেকে দেখা যায় সময়ের মান যখন শূন্য তখন বেগের মান 10 ms-1 অর্থাৎ এটি হচ্ছে শুরুর বেগ (u) । আবার  15 সেকেন্ড পরে বেগের মান 10 ms-1 বেগ থেকে বেড়ে 40 ms-1 হয়েছে। 

কাজেই ত্বরণ, a = (40-10)/15 = 2 ms-2

S = ut + ½ at2 সমীকরণের লেখচিত্র 

X - অক্ষের দিকে সময় এবং Y -  অক্ষের দিকে সরণ নিয়ে সরণ - সময় লেখচিত্র আঁকলে একটি বক্ররেখা পাওয়া যাবে । লেখচিত্র থেকে দেখা যায় সময়ের মান যখন শূন্য তখন সরণের মান শূন্য। 1 সেকেন্ড পরে সরণের মান 1 m । 2 সেকেন্ড পর 4 m ।  3 সেকেন্ড পর 9 m ।  4 সেকেন্ড পর 16 m ।  অর্থাৎ স্থির অবস্থান থেকে সুষমত্বরনে চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক। 

প্রশ্ন - ১ : একটি গতিশীল গাড়ির গতিকালে ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য বেগের মান নিচের ছকে দেয়া হলো :

ক. আপেক্ষিক গতি কি ? মহাবিশ্বের সকল গতিই আপেক্ষিক। ব্যাখ্যা কর।

খ. তাৎক্ষণিক বেগ কি ? 16 তম সেকেন্ডে গাড়িটির অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর। উ: 38.75 m

গ. ঢাল কি ? প্রদত্ত তথ্যের আলোকে লেখচিত্র অঙ্কন করে এর ঢাল নির্ণয় কর। উ : 2.5 ms-2

ঘ. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে গড় বেগ ও তাৎক্ষণিক বেগ ব্যাখ্যা কর।

ঙ. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে গাড়িটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।

চ. সুষম ত্বরণ কি ? প্রদত্ত তথ্যের আলোকে দেখাও যে,  স্থির অবস্থান থেকে সুষম ত্বরনে চলমান বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।

পাঠ উপস্থাপন 

শিবুব্রত মন্ডল (এম, এসসি)

সহকারী শিক্ষক (গণিত ও বিজ্ঞান)

বেতমোর রাজপাড়া ইউনিয়ন আদর্শ 

মধ্যমিক বিদ্যালয়।

মাষ্টার ট্রেইনার (গণিত)

Mobile: 01718638797

Email: [email protected]