বুলিয়ান অ্যালজেবরা | বুলিয়ান উপপাদ্য (Boolean algebra)

বুলিয়ান অ্যালজেবরা (Boolean algebra)

প্রখ্যাত ইংরেজ গণিতবিদ সর্বপ্রথম গণিত ও যুক্তির মধ্যে সম্পর্ক আবিষ্কার করেন এবং গণিত ও যুক্তির ওপর ভিত্তি করে এক ধরণের অ্যালজেবরা তৈরি করেন, যাকে বুলিয়ান অ্যালজেবরা বলা হয়।

এটি যৌক্তিক/লজিক্যাল সত্য এবং মিথ্যার উপর ভিত্তি করে তৈরি। সত্য এবং মিথ্যাকে যথাক্রমে 0 এবং 1 দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো সার্কিটে বিদ্যুৎ আছে বুঝাতে 1 এবং বিদ্যুৎ নেই বুঝাতে 0 ব্যবহার করা হয়। কম্পিউটারের সমস্ত সমস্যার সমাধান এর মাধ্যমেই করা হয়ে থাকে।

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার প্রয়োগ:

লজিক গেট: ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনে বুলিয়ান অ্যালজেবরা লজিক গেট যেমন AND, OR, NOT ইত্যাদির মাধ্যমে বাস্তবায়িত হয়।

ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইন: কম্পিউটার হার্ডওয়্যারে বিভিন্ন লজিক্যাল অপারেশন বাস্তবায়ন করতে বুলিয়ান অ্যালজেবরা ব্যবহৃত হয়।

প্রোগ্রামিং: বিভিন্ন প্রোগ্রামিং ভাষায় শর্ত এবং লজিক্যাল এক্সপ্রেশন ব্যবহার করা হয়।

বুলিয়ান অ্যালজেবরার বৈশিষ্ট্যঃ

• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় মাত্র দুটি অঙ্ক ‘0’ এবং ‘1’ ব্যবহৃত হয়।

• বুলিয়ান চলকের দুটি মান থাকায় বুলিয়ান অ্যালজেবরা দশমিক অ্যালজেবরার তুলনায় অনেক সহজ পদ্ধতি।

• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ভগ্নাংশ, লগারিদম, বর্গ, ঋণাত্মক সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা ইত্যাদি ব্যবহার করা যায় না।

• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধু মাত্র যৌক্তিক যোগ, গুণ ওপূরকের মাধ্যমে সমস্ত গাণিতিক কাজ করা হয়।

• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় কোনো ধরনের জ্যামিতিক বা ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা যায় না।

সাধারণ অ্যালজেবরা এবং বুলিয়অন অ্যালজেবরার মধ্যে পার্থক্য

 বুলিয়ান অ্যালজেবরার ভিত্তিঃ

বুলিয়ান অ্যালজেবরা মূলত লজিকের সত্য অথবা মিথ্যা এ দুটি স্তরের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। অপরদিকে সকল ডিজিটাল ডিভাইস বাইনারি পদ্ধতিতে কাজ করে। এই ডিজিটাল ডিভাইসে গাণিতিক ও যুক্তিমূলক কাজ করার জন্য বুলিয়ান অ্যালজেবরা ব্যবহৃত হয়।

বুলিয়ান চলকঃ

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যে রাশির মান পরিবর্তনশীল তাকে বুলিয়ান চলক বলে। যেমন- Y = A+ 0 + 1,  এখানে A হচ্ছে চলক ।

বুলিয়ান ধ্রুবকঃ

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যে রাশির মান অপরিবর্তনশীল থাকে তাকে বুলিয়ান  ধ্রুবক বলে। যেমন- Y = A+ 0 + 1,  এখানে 0 এবং 1 হচ্ছে বুলিয়ান ধ্রুবক।

ধ্রুবকের মান সব সময় অপরিবর্তিত থাকে কিন্তু চলকের মান পরিবর্তিত হয়। বিভিন্ন ইলেকট্রনিক বর্তনীর ইনপুট ও আউটপুটের লজিক অবস্থা নির্দিষ্ট করার জন্য বুলিয়ান চলক ও ধ্রুবক ব্যবহার করা হয়।

বুলিয়ান পূরকঃ

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যেকোনো  চলকের মান  ০ অথবা  ১ হয়। এই  ০ এবং  ১  কে একটি অপরটির বুলিয়ান পূরক বলা হয়। বুলিয়ান পূরকে ‘–’  চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। গণিতের ভাষায় লেখা হয় A এর পূরক A′।

প্রতীক বা মৌলিক চিহ্নঃ দুটি –  TRUE/ON/1 এবং FALSE/OFF/0

বুলিয়ান অ্যালজেবরার অপারেটরঃ

অপারেটরঃ ৩টি-  AND ( . ), OR ( + ), NOT( ¯ )

বুলিয়ান অ্যালজেবরার মৌলিক অপারেশনঃ

বুলিয়ান অ্যালজেবরার মৌলিক অপারেশন ৩টি। যথা –

• অ্যান্ড অপারেশন (AND Operation) বা যৌক্তিক গুণ (Logical Multiplication)

• অর অপারেশন (OR Operation) বা যৌক্তিক যোগ (Logical Addition)

• নট অপারেশন (NOT Operation) বা যৌক্তিক পূরক (Logical Inversion)

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় সমস্ত গাণিতিক কাজ শুধুমাত্র যৌক্তিক যোগ, গুণ ও পূরকের সাহায্যে করা হয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যৌক্তিক যোগ, গুণ ও পূরকের নিয়মগুলোকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ গুলো-

• যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of OR)

• গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of AND)

• পূরকের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Postulates of NOT)

যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ

যৌক্তিক যোগের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে যোগের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। যৌক্তিক যোগের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে OR(+) অপারেটর ব্যবহার করা হয় তা প্রচলিত যোগের চিহ্ন নয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় এ যোগ চিহ্নকে যৌক্তিক যোগ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। যৌক্তিক যোগের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা−

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যৌক্তিক যোগের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান ১ হলে যৌক্তিক যোগফল ১ হবে, অন্যথায় ০ হবে।

গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ

যৌক্তিক গুণের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে গুণের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। যৌক্তিক গুণের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর মানের মধ্যে AND(.) অপারেট ব্যবহার করা হয়। যৌক্তিক গুণের চারটি নিয়ম প্রচলিত। যথা:

0 . 0   = 0

0 . 1   = 0

1 . 0   = 0

1 . 1   = 1

উপরের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ থেকে বলা যায় যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যৌক্তিক গুণের ক্ষেত্রে যেকোনো একটির মান  ০  হলে যৌক্তিক গুণফল  ০  হবে, অন্যথায়  ১  হবে।

পূরকের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধঃ

যৌক্তিক পূরকের সময় বুলিয়ান অ্যালজেবরা যেসব নিয়ম মেনে চলে তাকে পূরকের বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে। যৌক্তিক পূরকের সময় বুলিয়ান চলকগুলোর উপর পূরক চিহ্ন ( ¯ ) ব্যবহার করা হয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যৌক্তিক পূরকের ক্ষেত্রে ০ থাকলে ১ হয়, এবং ১ থাকলে ০ হয়।

1µ = 0

0∑ = 1