✦ সসীম ধারা (Finite Series)

১) সংজ্ঞা

• যখন কোনো সংখ্যার ধারাবাহিক যোগফল নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ নিয়ে গঠিত হয়, তাকে সসীম ধারা বলা হয়।

• সহজভাবে বলা যায়: যে ধারার শেষ আছে

উদাহরণ:

$$2+4+6+8+10$$

এখানে ৫টি পদ আছে → এটি সসীম ধারা।

২) সাধারণ সূত্র

যদি ধারা হয়:

$$a,a+d,a+2d,...,a+(n-1)d$$

• $a$ = প্রথম পদ

• $d$ = সাধারণ পার্থক্য (Common difference)

• $n$ = মোট পদসংখ্যা

ধারা যোগফল (Sum of n terms):

Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]Sn​=2n​[2a+(n−1)d]

অথবা

Sn=n2(a+l)S_n = \frac{n}{2} (a + l)Sn​=2n​(a+l)

যেখানে $l$ = শেষ পদ

৩) উদাহরণ

1️⃣ ধারা: $3+5+7+9+11$

• প্রথম পদ $a=3$, পার্থক্য $d=2$, পদ সংখ্যা $n=5$

S5=52[2×3+(5−1)×2]=52[6+8]=52×14=35S_5 = \frac{5}{2} [2\times3 + (5-1)\times2] = \frac{5}{2} [6 + 8] = \frac{5}{2} \times 14 = 35S5​=25​[2×3+(5−1)×2]=25​[6+8]=25​×14=35

2️⃣ ধারা: $10+20+30+40$

• $a=10,d=10,n=4$

S4=42[2×10+(4−1)×10]=2[20+30]=2×50=100S_4 = \frac{4}{2} [2\times10 + (4-1)\times10] = 2[20 + 30] = 2 \times 50 = 100S4​=24​[2×10+(4−1)×10]=2[20+30]=2×50=100

৪) বৈশিষ্ট্য

1. সসীম ধারা-এর একটি শেষ পদ থাকে।

2. যোগফল নির্দিষ্ট ও হিসাবযোগ্য।

3. সাধারণত এটি গাণিতিক ধারা (Arithmetic series) বা জ্যামিতিক ধারা (Geometric series) হতে পারে।